El otro día en la práctica, un profesor dejó la fórmula de la regla de la cadena para este caso particular:

Tenemos las siguientes funciones:

,
,



f es diferenciable en h(x,y)= (u(x,y),v(x,y)), y h diferenciable en (x,y)

Entonces, la regla de la cadena para este caso puede escribirse como:



La expresión para la derivada parcial de g con respecto a g es análoga (no la pongo porque no es relevante para mi pregunta)

A continuación de esta fórmula el profe hizo un ejemplo, el cual es el siguiente:

y para este ejercicio el profesor escribió:



Mi pregunta es: ¿por qué en lugar de , escribió , es decir la derivada parcial de con respecto a directamente, y no con respecto a ? ¿Por qué puede hacerse eso? ¿Puede hacerse siempre? Entiendo perfectamente que haya reemplazado por , y v(x,y) por x*y^2, pero no por qué reemplaza u por x... Alguien podría iluminarme??

Desde ya gracias.

Hola!
En el ejemplo cuando desarrollo la derivada parcial de g respecto de x, en el primer sumando en la derivada de f respecto de x, esa x denota la coordenada x y no la variable. Se habrá olvidado de la notación que dio antes, pero esa x es lo mismo que u: indica la primera coordenada. Es medio confuso llamar igual a una coordenada que a una variable, por eso llamo primero u a la coordenada y x a la variable pero no fue consistente con la notación después.
Saludos!