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La idea de este thread es poner los teoremas más importantes que pueden ser usados en los ejercicios prácticos y teóricos. Si bien Nico posteó separado un thread de función inversa, voy a agregarlo en este apunte, pero no con la profundidad que el trató el teorema. Es decir, la idea es tener bien claro que teoremas se pueden usar y qué hipótesis deben satisfacerce. Si creen necesario agregar algún teorema, solo coméntenlo. Además, la definición de límite y sus propiedades no las he colocado. Si precizan, las agrego. Otra aclaración; siempre representará un conjunto abierto, mientras que un conjunto compacto. Espero que los ayude.
DEFINICIÓN: Sea . Si , f es continua en si .
PROPIEDADES: Sean f,g funciones continuas en P, pero escalares. Vale:
- son continuas en P. Si es continua en P.
-Si , existe un entorno alrededor de P donde . De manera análoga, si , existe un entorno alrededor de P donde .
-Si , esta última función continua en , entonces es continua en P.
-Si . f es continua en es continua en .
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS:
-Teorema(de Bolzano): , continua sobre . Entonces, existe que verifica .
-Corolario: , continua sobre . Entonces existe que verifica
-Generalización a varias variables: Sea , continua en , y sean tales que el segmento de extremos a y b está contenido en . Además, . Entonces, existe en el segmento de extremos a y b que verifica .
Propiedades de los conjuntos compactos: Sea un compacto. Luego, valen los siguientes teoremas:
-Teorema 1:De toda sucesión de puntos de , se puede extraer una subsucesión de puntos que converge a un punto del compacto
-Teorema 2:Sea continua sobre . Luego, la imagen de está acotada y alcanza sus máximos y mínimos absolutos sobre .
DIFERENCIABILIDAD:
DEFINICIÓN: Sea , se dice que existe la derivada de f en en la dirección , o que existe la derivada direccional de en y se nota , si el siguiente limite existe:
Nota: puede pedirse que , aunque no es necesario.
Definición: si el vector de la definición de derivada direccional es uno de los vectores de la base canónica de , donde el 1 es la coordenada i-ésima del vector, y todas las coordenadas restantes son 0, se nota y se llama derivada parcial respecto de de en . En términos del límite:
DEFINICIÓN: Sea . se dice diferenciable en si existen constantes tales que:
TEOREMA: si es diferenciable en , entonces existen todas las derivadas direccionales de en , y las constantes son únicas y valen . El vector de la definición se llama el gradiente de en y se nota . Luego, una función es diferenciable en si existen todas las derivadas parciales, y:
Teorema: Si es diferenciable en , entonces todas las derivadas direccionales existen y además:
Definición:si , con , es diferenciable en el punto , entonces el plano:
se llama el plano tangente al gráfico de en , o también el plano tangente a en
DEFINICIÓN:La transformación lineal dada por se llama la diferencial de en y se nota
Teorema: si es diferenciable en , entonces es continua en .
Extensión de la definición de diferenciabilidad: Sea . Decimos que es diferenciable en si existe una transformación lineal tal que:
Resulta que es única, y además, , donde es la matriz de la transformación en las bases canónicas, se llama la diferencial de en . Además, , la matriz satisface:
Teorema: Sea , es diferenciable en es diferenciable en .
DEFINICIÓN: Sea , se dice de clase en , o , si existen todas las derivadas parciales de las funciones componentes de f y son continuas en .
TEOREMA: si es de clase en , entonces es diferenciable en cada punto de
REGLA DE LA CADENA: Sea abiertos, .Si es diferenciable en y es diferenciable en . Entonces es diferenciable en y . En términos de las matrices,
Corolario: Sea , y . Si es diferenciable en , y es diferenciable en , usando la regla de la cadena, se obtiene que es diferenciable en y
TEOREMA (de Lagrange): Sea continua en y derivable en . Entonces existe que satisface:
Teorema del Valor Medio: Sea diferenciable en . Sean tales que el segmento de extremos está contenido en . Entonces, existe en el segmento que satisface
DEFINICIÓN: sea . Si es diferenciable en , se llama el jacobiano de en y se nota al .
TEOREMA(de la función inversa): Sea de clase en y tal que . Entonces, si , existen entornos de respectivamente, donde es biyectiva. Luego, existe , siendo en . Además, en términos matriciales:
TEOREMA(de la función implícita, para funciones escalares). Sea y y sea . Sea . Entonces, existe , con entorno alrededor del vector de que se obtiene al ''quitar'' la coordenada i-ésima de . Sea este vector . Luego, satisface que es en , , particularmente , y
Para , las ecuaciones de la recta tangente y plano tangente a la gráfica de , función implícita en son(respecto de ''y'', y de ''z'' respectivamente):
Además, en el primer caso, y
, para el segundo caso.
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR: Se definen como las derivadas parciales de las ''funciones derivadas parciales''. Vale el siguiente teorema:
TEOREMA: Sea tal que existen y son continuas. Entonces vale que existe y vale
DEFINICIÓN: Si en existen todas las derivadas parciales hasta el orden k y además son continuas en , la función se dice de clase en (si particularmente sucede lo explicado para todo k, se dice de clase en )
TEOREMA(de Taylor, de orden 2):Sea . Sea . Entonces, para todo punto se cumple:
donde:
, y se llama el hessiano de en
un punto intermedio incluido en el segmento de extremos . Se llama el el resto de orden 2 del polinomio de Taylor. Además, el resto satisface
TEOREMA(Taylor de orden 2, generalizado): Sea . Entonces, existe , y satisface:
, valiendo que
Posteriormente pondré yo, o Nico, un resumen en la sección de ''extremos'' y de integrales. Hasta entonces, saludos.
Última edición por exequiel131719 el 17 Jul 2008, 13:38, editado 1 vez en total
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
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