Hallar todos los tales que

Lo que se me ocurre hacer primero es buscar los tales que se cumplan sinmultáneamente estas 2 condiciones

1)
2)

1) tenemos que
Por el PTF se que
Entonces
y luego y como puedo decir que
entonces

2)
Pero esto vale , cosa que ya se cumplía en 1), por lo que puedo decir que:



Ahora bien ¿como lo puedo seguir? Porque lo siguiente sería buscar los que verifican que 7 aparece una sola vez en el desarrollo factorial de ambos números. Escucho sujerencias...

Hola Eliana!

Mirá, para mí con lo que hiciste ya terminó el ejercicio.
O sea la respuesta es que todos los a que cumplen que
son los .

(o si lo querés escribir de otra forma, )

Saludos!

¿Pero como sabés que si elegís el máximo común divisor no puede ser ?
Es decir, ¿como sabés que para cualquier que cumpla esa condición ambos desarrollos factoriales sólo van a tener al como único primo en común?

Ya entendí tu punto!.. y tenés razón, así que rehice el ejercicio...
A ver si está bien lo que se me ocurrió :
Lo que hice fue empezar viendo cuales podían ser los posibles mcd



y


Multiplico la primera por 5 y la segunda por 3 y me queda que
y


Después resto las ecuaciones y me queda que

O sea que d puede ser 21,7, 3 o 1.

Nosotras ya sabemos que si 7 divide a las dos partes, o sea 7|d.
Para que d=7 queremos que 7|d y que 3 no divida a d.

Entonces ahora veo cuando 3|d
siempre




multiplico por 2 de los 2 lados
y como ,


Si no me sirve porque no sería equivalente a 2 modulo 3.
Si 3 no divide a a por el p.teorema de fermat saco que:


Entonces:


Y llego a que 3|d sii


Y dijimos que para que d=7 quiero que 7|d y que 3 no divida a d
Entonces para que d=7, lo que quiero es que y que a no sea equivalente a 2 módulo 3

O sea que d= 7

y o
y
(si uno quiere podés obtener una sola congruencia de cada par con el teorema chino)

Si me equivoqué en algo avisen
Saludos!

me parece que ahí si!