1) converge si y diverge si . De esta manera, podemos definir . Esta función se conoce como función Gamma
2)Probar que . Así, la función Gamma permite extender al factorial a los números reales positivos.
3)Probar que converge
4)Probar que
5)Usando que , y planteando como límite de integrales en círculos utilizando coordenadas polares, calcular
6)Probar, finalmente, que
Para poder resolver adecuadamente este ejercicio, es recomendable(tal vez, necesario, debería decir) haber visto el Teorema de Cambio de Variables, y manejar integrales impropias. Espero que ayude el ejercicio, que es a su vez una extensión de uno de la práctica(es que no puedo evitarlo; por alguna razón este ejercicio me agrada). Un poco más desafiante(¿acaso?), es el siguiente, también canónico:
Sea la esfera -dimensional de radio dada por . Definimos el volumen de la -esfera por la integral .
Probar que para , vale que , donde es la función Gamma.
Sugerencia: el teorema de cambio de variables vale para integrales múltiples, en general. Primero, bajo un cambio adecuado de variables, probar que . Luego, probar que , esciribiendo la integral que da a como la iteración de una integral -múltiple, y una integral doble, trabajando adecuadamente con la región . Luego, después de un poco de trabajo, usar coordenadas polares, y recordar que , y que dada una sucesión de números reales definida por recurrencia, existe una única función que la satisface.
No es tan difícil como parece; seguro que sin leer la sugencia sale más fácil. Nuevamente, es recomendable tratar de encarar este ejercicio después de T. de cambio de Variables. Ahora si, saludos.Estadísticas: Publicado por exequiel131719 — 03 Nov 2008, 03:29
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